第396章 肯定还有更简便的路径
肖宿在NS方程讲座上提出的那个方向，核心思路就是这个。
他把规范场在低能区域的非微扰行为，映射到了一个几何框架里。
这套几何框架的核心，是他之前在证明NS方程全局正则性时建立的和乐群约束理论。
在和乐框架下，规范场的所有物理构型都被投影到了一个商空间上，而这个商空间的结构，是由规范场的和乐群完全决定的。
而能隙的存在性，就等价于这个商空间上某个能量泛函的极小值条件。
换句话说，他不是在算能隙是多少，而是在证明能隙必须存在。
这就像证明一个山谷里必然有一个最低点，而不需要知道这个最低点的海拔到底是多少。
你可以从山谷两侧的山脊线出发，用拓扑学和变分原理证明，给定地形的约束条件下，一定存在至少一个局部极小值。
这个极小值可能很浅，也可能很深，但是存在性是由地形的几何结构保证的，不需要任何近似。
而肖宿要做的，就是在规范场的商空间上，找到那个保证极小值存在的几何结构。
他之前已经完成了这个框架的大部分核心构造。
从NS方程的涡量商空间出发，把涡量场的和乐约束算子推广到了杨-米尔斯规范场的构型空间，定义规范场商空间上的加权度量，建立推广的曲率正则化定理，用高阶群胚的骨架截断消除格里博夫拷贝……
这些他都做完了。
但是每次翻到文档最后一页，看着那个还没填完的最后一步，肖宿总觉得有什么地方可以更简洁一些。
就像一条路，明明已经走得通了，但总觉得旁边草丛里还藏着一条更直的小径。
数学最美的地方，就在于极致的简洁与对称。
真正的终极公式，从来都是大道至简，绝不会拖泥带水的。
“肯定还有更简便的路径。”
肖宿低声自语，把键盘往旁边推了推，重新拿起笔和纸。
电脑屏幕上的公式他太熟了，以至于闭着眼睛都能推导出来。
但是正是这种熟悉，有时候反而会让人看不见另一种可能。
笔尖落在纸上，发出细微的沙沙声。
他从SU(3)和乐群的基本表示出发，把八维根系画在纸上。
SU(3)的根系是一个六边形的图案，六个根矢量均匀分布在平面上，中心是一个原点。
每一个根矢量都对应着一个规范场的分量，根系之间的角度决定了这些分量之间的对易关系。
传统的处理方法是把每一个根矢量对应的模式单独拿出来做正则化，然后用群的表示论把它们重新组合起来。
这套方案是叶臻他们在文件中尝试的路径，逻辑上当然没问题，但是真正算起来是极其繁琐的，因为SU(3)有八个独立的生成元，每一个生成元的模式都需要单独处理，再加上它们之间的非交换关系会产生大量的交叉项，整个推导像一团打了无数个结的毛线球一样，多且乱。
肖宿埋首写了几行，忽然停下了笔。
他的目光直直的落在了那个六边形的根系图的中心点上。
SU(3)的根系有一个非常特殊的性质，那就是它的六个根矢量的和为零。
这当然不是巧合，而是非交换和乐群的拓扑约束直接导致的。
如果所有根矢量的和为零，那就意味着这个根系天然具有一个零模，一个可以被商掉的冗余自由度。
零模。
冗余自由度。
商掉。
这几个词在他脑海里碰撞了一下。
他翻开手边那篇格罗滕迪克1960年发表的关于概形理论的经典论文，目光扫过其中一段关于商空间上同调的论述。
格罗滕迪克在这篇论文里证明过一个结论，那就是如果一个代数群的作用是自由的，那么商映射的存在性由该群的上同调群的第一阶障碍类决定。
对于SU(3)来说，它的第一阶上同调群是平凡的，这就意味着，和乐群在规范场构型空间上的作用，天然就是自由的。
没有障碍。
不需要处理任何上同调障碍！
而叶臻他们在文件里花了整整三章去论证怎么绕开上同调障碍，绕了半天，其实这个障碍压根就不存在。
他们被经典规范场论教科书里的标准方法给框住了。那些教科书在处理非交换群的时候，总是先做规范固定，然后发现规范固定不彻底，再然后引入补偿场，也就是鬼场来抵消冗余自由度，最后在路径积分里留下一堆复杂的行列式。
但是如果直接从和乐群的拓扑结构出发，用格罗滕迪克的概形语言来重新描述规范场商空间，就会发现，规范固定这步操作本身就是多余的。
规范场的物理构型天然就构成了一个良定义的商空间，不需要任何额外的固定条件，因为和乐群在构型空间上的作用是自由的，商空间从一开始就是良好定义的。
这就像是你想给一群人分组，传统的做法是给每个人发一个号码牌，然后按号码分组。但是，你发现号码牌有重复，有人拿了两个号，有人没拿到号，于是你又设计了一套复杂的校验机制去消除重复。
这当然可以，但是毫无疑问，最后得到的东西肯定极其复杂累赘的。
这当然不行。
肖宿拿起笔，把之前写的五页推导全部划掉了。
得重新开始。
这一次他决定转换方向，不再从规范固定出发，而是直接从和乐群在构型空间上的群作用开始构造商空间。
用格罗滕迪克的概形语言，他把规范场的构型空间看作一个代数叠，和乐群的作用定义了叠上的等价关系，而商空间就是这个代数叠的模空间。
在模空间上，能量泛函的极小值条件不再需要处理任何冗余自由度。
格里博夫拷贝的问题就自动消失了。
因为在代数叠的框架下，所有格里博夫拷贝都被识别为同一个叠点，它们本来就是一回事。
推导的速度越来越快，笔尖在纸上几乎不停。
从模空间的定义，到加权度量的推广，到曲率正则化定理的非交换版本，一步接一步，像多米诺骨牌一样顺次倒下。
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