第353章 实在不算高明

肖宿在参观结束后就径直走进了位于三楼的自己的办公室。

办公室朝南，采光很好，窗外是校园里的法国梧桐和远处灰蒙蒙的山脊轮廓。

窗台上还没有任何摆件，干干净净。

高长安和顾清尘已经开始安排后续的工作了，刘浩然、陈林和陆奇也撸起袖子准备帮忙。

肖宿刚坐下，本来打算继续自己的研究的，看到陈林和陆奇，想到自己作为老师，竟然这么久没有过问过一句两个学生的学习情况，就把两人叫住了。

刘浩然会意，带着迟艺先走了：“迟艺，那我们先去清点一下镀膜设备的配件清单吧。”

几人退了出去。

办公室的门被轻轻带上，彻底安静了下来。

肖宿在办公桌后面坐下，陈林和陆奇站在他对面，对视了一眼，心里都有了点数，肖宿应该是要问他们题目的事儿了。

果然，肖宿一开口就是：“之前的课题，完成得怎么样了。”

“额……”

陈林瞅了瞅陆奇，陆奇嘴唇紧紧抿着，感觉有点紧张，他就先开口了。

“目前进展还算顺利，耦合算子的拆分，我们走了两条不同的路，我先按照老师给的框架，把积分算子拆成了三个子项，分别对应非线性项、色散项和耗散项，然后用朗兰兹纲领里的自守形式做全局基展开。”

“靠朗兰兹纲领的自守形式展开之后，色散项的积分在第二类完全椭圆积分形式下就可以精确解析求值了，这一步不涉及任何数值近似。”

陈林说和，从包里把一本活页笔记本推到肖宿面前，翻开到折角的那一页，上面密密麻麻写满了推导过程，每一页都分了小节，用不同颜色画了重点标记。

“边界条件对应的拉格朗日子流形我用了顾辛几何里的曲率正则化方法来构造，算到最后得到的是一个带约束的变分方程。泛函是严格凸的，极小值点存在且唯一。

最后解出来的物理轨迹在相空间中是一个稳定的极限环，在外加驱动力频率和本征频率满足二比一共振时，振幅有跳跃现象，但是，这个跳跃的幅值可以用鞍点渐近展开的次领头阶来精确控制，我的误差估计是epsilon的三分之五次方。”

陆奇等他合上本子，缓了缓，跟着开口说道：

“老师，我走的路和陈林不一样，我用的是路径积分的方法。非线性振子的相空间轨迹在路径积分下对应的是作用量泛函的极值，我就把这个作用量用Fourier级数展开了。”

他把自己的笔记本也递过去，上面每一页都画了草图和箭头标注，在关键的公式旁边还用铅笔写了物理注释。

“耦合算子里的和乐群部分，我没有直接用辛流形上的微分几何去定义，而是用路径积分里的Berry相因子来描述的。系统在参数空间里绕一个闭合回路时，波函数的几何相位变化和经典非线性振子的周期解之间有一个对应关系。”

说到这里他顿了顿，像是在整理措辞。

“我在分析这个Berry相因子的时候发现，如果系统在相空间的某个区域上的指数图集是拟周期的，那么在特定共振条件下，Berry相因子应该是会发生跳变的，这个跳变在实空间里对应的就是振子振幅的一个突变。

我借用了老师之前提到的鞍点圆法的思想，在路径积分里做了鞍点近似，找到了一组特定的参数值，使得原来的发散积分在考虑鞍点贡献的次领头阶之后，可以转化为收敛积分。”

陈林在一旁点了点头，表示他们私下交流过这一步。

“是的，我和陆奇把这两个结果放在一起对了对，发现思路不一样，但最后得到的临界参数值是一样的，误差估计量级也是epsilon的三分之五次方。”

说完，他又补充道：

“我们俩后来又把整个证明反过来整理了一遍，统一成了一个更通用的框架，就是耦合算子在辛流形上和乐群等价类上的极小能量轨迹，它的存在性和唯一性不依赖于具体的材料参数，只要和乐群的Holonomy表示是非平凡的，极小值点就必然是存在的，证明的最后一步用到了顾辛几何中曲率正则化的全局收敛定理。”

肖宿点点头，看着办公桌上摊着两本笔记本，一本密密麻麻地爬满了自守形式展开和严格凸泛函的推导，另一本画满了路径积分示意图和Berry相因子的分析。

他们的方法都没错，但是，太复杂了，肖宿都想不到怎么可以把路绕这么远的。

在肖宿看来，这道题的核心其实只有一个东西，在辛流形上被和乐群商掉的商空间里，证明极小能量轨迹的存在性和唯一性。

陈林走的路是从代数几何的正门进去，用朗兰兹纲领的自守形式做全局基展开，一层一层往下筛，筛到最后把解锁定在极小值点上。

这条路像用一门重炮轰开城门，火力充足，步骤严谨，每一步都有据可查。

而陆奇的方法更加横冲直撞一些，他用路径积分和Berry相因子捕捉系统在参数空间里的几何相位跳变，借鞍点圆法把发散积分收成收敛积分，从物理直觉反推数学结构，像在黑暗中沿着墙摸到开关，啪一下的灯就亮了。

他们都找到了到达山顶的路。

但是，他们的路都太绕了，这样的方法，实在不算高明。

这道题其实有一条更直的路。

仔细想想，这个问题的本质其实就是是在一个商掉和乐群等价关系的辛流形上找极小能量轨迹。

如果用顾辛几何的语言重写这个问题，那么耦合算子在商掉和乐群等价关系之后，底流形的曲率正则化过程已经天然给出了一个严格凸的能量泛函，极小值点的存在性和唯一性是这个泛函的全局性质，不需要从外部引进任何额外的重型工具，也不需要路径积分的鞍点近似。

直接从商空间的辛结构出发，用曲率正则化定理一步就能推出结论了。

肖宿蹙着眉，看着眼前紧张的两人，委婉的表示：“你们的方法，虽然都不够简洁。”

陈林和陆奇同时屏住了呼吸。

“但是确实能解决问题。”

两个人又同时把那口气吐了出来。


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