第382章 解法

肖宿的阅读速度让顾长钧暗暗咋舌。

厚厚一沓材料在他手里翻得飞快，不到十分钟就过去了大半。

他的阅读方式也很特别，看东西的时候似乎是从标题直接跳到公式，然后扫过推导过程，视线基本没有在解读的文字上停留过。

翻到最后，肖宿的目光忽然放慢了。

顾长钧注意到这个变化，身体微微往前倾了倾。

他知道肖宿看到了什么问题。

文件这一章内容就是他们在高阶群胚骨架截断的构造尝试。

他们在这里是先用了一种比较传统的方法，构造一个覆盖规范场商空间的局部坐标卡族，然后再在每个坐标卡上分别定义截断条件，试图用单位分解把这些局部截断粘合成一个全局的截断。

这个方法在数学上是标准的操作，在大多数变分问题里都行得通的，他们也习惯了用这个方法。

但是在这里，它显然不太够用。

肖宿只看了一眼就明白问题出在哪里了。

传统的截断方法的思路是用局部坐标卡覆盖整个空间，然后用单位分解把局部截断粘起来，但是杨米尔斯规范场的商空间不是普通的流形，它上面有Gribov拷贝产生的层结构。

同一个物理态在商空间中被复制成了无数个点，这些点分布在不同的坐标卡上，彼此之间通过规范变换相互联系。

用局部坐标卡去做截断，每一个坐标卡只能看到自己这一片区域里的点，看不到其他坐标卡上的拷贝。

粘合的时候，属于同一个物理态的拷贝会被当成不同的极小值点分别保留下来。

这就是为什么传统方法消除不了Gribov拷贝的原因，不是因为截断条件设得不对，而是因为截断的框架本身维度就不够。

用局部坐标卡去处理一个具有整体拓扑结构的对象，这就好像是用平面的地图去描绘地球表面，在赤道附近自然没问题，可越靠近两极就越会失真。

而肖宿说的高阶群胚骨架截断是要在全局层面上对整个商空间进行一次彻底的重新索引。

也就是不再从坐标卡出发，而是从规范等价类的和乐群结构出发，把所有属于同一个和乐等价类的点，不管它们散布在多少个不同的坐标卡上全部用群胚的骨架关系串联起来，然后在骨架的层面上定义截断。

这样一来，同一个物理态的所有Gribov拷贝在骨架截断的层面上天然就被识别为同一个对象了，自然就不需要粘合，不需要单位分解，也不需要任何人为的权重分配了。

叶臻他们打算用局部坐标卡的方法去实现一个本质上是全局骨架的操作，这不就等于用螺丝刀去拧一个需要内六角扳手的螺丝吗？

工具不对，自然达不到效果了。

继续往下翻，肖宿看到了他们碰到的另外几个问题，大多都是类似的性质，用传统工具硬啃新框架，导致在某些关键步骤上绕了远路。

比如在曲率正则化定理的推广上，叶臻他们试图把适用于交换群的证明直接做群论推广，在每一步都用群表示论重新验证一遍。

这个做法在逻辑上没问题，但是工程量大的超乎想象，而且容易在一些看似微不足道的技术细节上卡壳。

比如非交换和乐群的上同调群在维度大于二的时候就会出现非平凡的扭系数，这些扭系数会导致商空间的极小能量轨迹在局部出现分叉，而分叉点的稳定性判断需要用到的东西远超经典曲率正则化的范畴。

不过整体看下来，肖宿反而有些意外。

他以为以他们的速度，怎么也得一个多月才能打好地基，没想到，短短几天时间，叶臻他们就整理出了一条相当完整的研究路线了。

虽然中间有几段绕了远路，但是大方向是对的。

路线图上的每一个节点都标注了需要攻克的数学工具，每一个预期的阶段性成果都有明确的验证标准。

即使没有他帮忙，以这个路线图的清晰程度，他们自己摸索着走下去，大概半年到一年也能把主要障碍清干净了。

当然，有一两个地方确实不是靠时间就能推过去的。

因为要用到的数学工具，目前在标准教科书里还不存在。

肖宿抬起头，发现顾长钧正一脸期待地看着他。

“你们的路线图整体来看没什么偏离，大方向是对的，只是在路线设计上有几个地方绕了远路，多绕了大概三四个步骤而已。”

他把文件翻到最后几页，指着其中一个式子淡淡说道：

“翻译阶段的工作可以直接跳过第三步和第四步，从第二步的规范群对应关系直接跳到第五步的商空间纤维丛分解，中间那步局部坐标卡验证没什么必要，因为商空间的整体结构已经由和乐群的同伦类完全确定了，不需要再做局部验证了。”

顾长钧从公文包里掏出一个巴掌大的笔记本和一支圆珠笔，飞快地记了起来。

他一边记，一边在心里暗自庆幸自己没有空手来。

“其他几个问题也都属于类似性质，”肖宿继续说，“Gribov拷贝那个，叶所长在文件里的分析方向是对的，问题确实出在局部坐标卡覆盖和全局骨架索引的维度错配。

你们用的方法是把局部截断用单位分解粘合成全局截断，这条路对于交换群没问题，因为交换群的规范等价类是良定义的商集。

非交换群的和乐等价类在商空间上会形成一种叫层化辛叶状结构的东西，不同叶之间的规范变换不是孤立的点对点映射，而是一个连续的同伦路径族。

局部坐标卡只能看到单个叶上的结构，看不到叶与叶之间的骨架关系，所以用局部截断粘合出来的全局截断天然就是不完整的。”

顾长钧在笔记本上飞快地写着，字迹潦草到大概只有他自己认识了。

他记到“层化辛叶状结构”的时候，笔尖在纸上顿了一下。

层化辛叶状结构这个表述，他从来没在任何文献里见过，但是肖宿说的那么自然……难道是自己脱离前沿太久，已然跟不上如今的学术进展了？

“那解法呢？”

“解法很简单，不用局部坐标卡做单位分解，而是直接从规范场的和乐群作用出发，在高阶群胚的骨架上定义截断。

高阶群胚的骨架天然包含了所有叶之间的同伦关系，所以在骨架层面上定义的截断可以自动覆盖整个商空间，这样就不需要再粘合了。”

“那这个骨架具体要怎么构造呢？”顾长钧皱着眉，继续追问道。

“先把规范场构型空间上的和乐群作用定义为一个二维群胚，那它的对象就是规范场构型，态射是和乐变换，然后取这个群胚的脉，得到它的骨架分片。

骨架分片上的每个单形对应一组彼此可以通过和乐变换互变的规范场构型，这就是一个等价类，接着，在这些单形上定义截断条件，然后沿着骨架往上递推，一层一层推到最高维就行了。”


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