第300章 有意思
第三个层次是时间尺度差异导致的数值刚性问题。
“推进子系统的最小时间常数在微秒量级，热控子系统的最大时间常数在百秒量级，两者相差八个数量级。
显式积分格式的最小步长由最快子系统决定，隐式积分格式的迭代收敛由最慢子系统决定。
无论哪种格式，都无法在一个统一的仿真框架内同时满足精度和效率的要求。”
肖宿翻到报告最后一页，找到了那个被林槿标黄的结论。
“综合来看，目前靠传统数值方法，即使把现有力翻倍，重型火箭飞行包线的全状态仿真精度也达不到载人标准。”
他把报告合上，靠回椅背上。
有意思。
邹杨分析出的这三个层次，每一个都对应着他在NS方程上遇到过的问题。
网格变形跟不上流场变化，这本质上和他在涡量和乐那篇论文里讨论的奇点附近曲率集中是同一个现象。
只是飞行包线的问题是网格追不上几何变形，而NS方程的问题则是环收缩追不上涡量拉伸。
耦合边界的误差放大，这和他论文6里用ε-球覆盖处理有限精度和乐分类时遇到的问题同源，都是在一个闭环里反复传递数值误差，每一次迭代都会把上一次的残差放大。
而时间尺度差异导致的刚性，跟他从六月份就在琢磨的和乐变化率问题，在数学结构上简直像是同一个方程拆成了两个变量。
肖宿直起身，重新打开那份飞行包线仿真数据，点开了跨音速过渡段的一组工况。
屏幕上跳出来的是一张三维流场图，图上有几个区域被人用红笔圈了出来，旁边标注着“曲率奇异”。
他把图像放大仔细看了看。
那些被圈出来的区域，流线的曲率在很短的空间区间内急剧增大，流线不再是平滑的弧线，而是变成了近乎折线的形状。
在数值模拟里，这意味着流场的状态变量在这些位置发生了近乎不连续的突变。
肖宿盯着那几个红色的圈，忽然想起一个问题。
这些曲率奇异出现的位置很特别，不是在流场的任何地方，而是在三个物理场的交界面上。
推进方程算出来的燃烧室出口流场，在碰到结构方程算出来的喷管内壁变形时，流线的曲率才会突然增大。
结构方程算出来的壁面热应力，在碰到热控方程算出来的对流换热系数变化时，等效应力的方向才会突然偏转。
曲率奇异不在任何一个子系统内部，而是在子系统之间的耦合面上。
这和NS方程的情况一样。
NS方程里也有两个子系统，分别是惯性项和粘性项。
惯性项的时间尺度是τ_inertial ~ L/U，粘性项的时间尺度是τ_viscous ~ L²/ν。
当雷诺数足够大时，这两个尺度的比值可以拉大到五个数量级以上。
而涡拉伸，恰好就发生在惯性项和粘性项的交接面上——它不是在惯性项内部产生的，也不是在粘性项内部产生的，而是在两个项的相互作用中冒出来的。
肖宿拿过一张空白的草稿纸，在上面写出两个理论的不同。
飞行包线是三个外在耦合的物理场，曲率奇异出现在子系统之间的耦合面上。
而NS方程则是两个内在耦合的项，涡拉伸出现在惯性项和粘性项的交接面上。
他们都有着同一个数学结构，而且都和多尺度耦合的几何奇性有关。
肖宿直起身，把自己那台笔记本拽过来，打开了那个从六月份就开始攒的文件夹。
文件夹里面整整齐齐排着十篇论文的草稿。
除了前期已经发表放到arxiv上的《涡量和乐：Navier-Stokes流的一个几何不变量》3篇外，还有《曲率积分不等式：从局部涡量到全局和乐的控制》《几何容量：动力系统状态跃迁的最小时间下界》《有限精度下的和乐分类与投影算子》《二维NS方程的和乐叶状结构：已知正则性的新证明》《Burgers方程与一维类比》……
但最后一篇《三维NS方程全局正则性的一个几何证明》一直卡着。
从6月开始，到现在已经卡了快半个月了。
肖宿点开论文草稿，屏幕上的LaTeX文档停在了第三节，光标在“法旗方向的曲率分析”这一行后面一闪一闪的，像一个一直催着他的小闹钟。
法旗方向是肖宿整套论文中提出的最新理论。
NS方程里，惯性项的时间尺度和粘性项的时间尺度差了五个数量级以上，这两个尺度在几何空间里体现为状态轨道的两个主曲率方向，一个叫做法方向，一个叫做法旗方向。
法方向的曲率已经在《欧拉方程的有限时间奇点：和乐框架下的几何解释》这篇论文中解决了，但法旗方向的曲率一直拆不出来。
这或许是因为法旗方向的曲率不是某个子系统自己的性质，而是两个子系统在交接面上相互“撕扯”产生的东西。
惯性项要把状态轨道往一个方向拽，粘性项要把状态轨道往另一个方向拽，两个力在交接面上顶牛，顶出来的那个曲率变化又急又猛，传统的曲率分解方法根本抓不住它，因为传统方法默认曲率是单个系统的内在属性。
但肖宿现在盯着邹杨报告里那张误差传递图，忽然想通了一件事。
飞行包线耦合面上的曲率奇异，和NS方程法旗方向的曲率奇异，是同一种东西。
推进方程和结构方程在耦合面上顶牛，顶出了流线曲率的突变。
惯性项和粘性项在交接面上顶牛，顶出了法旗方向曲率的发散。
两者的数学结构完全一样，都是两个独立几何系统在边界上相互作用产生的曲率奇性。
但是飞行包线的耦合问题，要比NS方程的内在耦合干净得多。
因为飞行包线的三个子系统各自封闭，耦合只发生在接口上，所以曲率奇异的源头可以被精确定位到接口上的每一个点。
而NS方程的惯性项和粘性项是交织在一起的，你中有我，我中有你，曲率奇异的源头散在整个流场上，抓都抓不住。
如果先把飞行包线这个更干净的问题解决掉，拿到一个完整的接口曲率奇性的几何描述模板，那NS方程法旗方向的曲率分析就可以直接套模板了。
肖宿脑子里像是有个齿轮咔哒一声咬合了。
(https://www.shubada.com/127848/36589367.html)
1秒记住书吧达：www.shubada.com。手机版阅读网址：m.shubada.com